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   Nr.23/Mai 1999
TSTOOL -
Datenanalyse mit Methoden der Nichtlinearen Dynamik

"Nanotechnologie"
"Neue Gebiete"




Abb. 1  Grafische Benutzeroberfläche des TSTOLLs. Im linken Fenster werden die Namen bereits geladener und bearbeiteter Datenfiles angezeigt, während rechts daneben der aktuell zur Bearbeitung selektierte Datensatz in einem Preview-Fenster dargestellt wird. Das Fenster im Vordergrund zeigt die dreidimensionale Rekonstruktion eines chaotischen Attraktors.

Häufig liefern Messungen bei wissenschaftlichen Experimenten oder bei der Datenerfassung an technischen Systemen irregulär oszillierende Zeitreihen, die analysiert oder in ihrem weiteren Verlauf vorhergesagt werden sollen. Neben stochastischen Einflüssen sind Nichtlinearitäten eine mögliche Ursache für aperiodisches Verhalten und können auch bei Systemen mit wenigen Freiheitsgraden zu großer Empfindlichkeit gegenüber kleinen Störungen führen. Speziell für Zeitreihen, denen eine derartige deterministisch chaotische Dynamik zugrunde liegt, wurden in den letzten Jahren zahlreiche Analysemethoden entwickelt, die in entsprechend modifizierter Form auch zur Auswertung technisch-industrieller Daten geeignet sind. Um die Erprobung und den Einsatz dieser neuen Methoden wirksam zu unterstützen, wurden im Rahmen eines BMBF-Projekts die wichtigsten Verfahren in einem benutzerfreundlichen Analyseprogramm zusammengefaßt, das allgemein verfügbar ist.

BMBF VDI
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Grundelemente der Nichtlinearen Zeitreihenanalyse

In den vergangenen Jahrzehnten wurden in der Nichtlinearen Dynamik verschiedene Konzepte zur Analyse und Charakterisierung chaotischer Dynamik entwickelt. Ausgangspunkt ist dabei stets eine Zustandsraumbeschreibung des interessierenden Systems, die auch Regeln für die Zeitentwicklung enthält. Diese wichtige Grundlage soll zunächst anhand eines einfachen Beispiels erläutert werden. Abbildung 2 zeigt einen elektronischen Schwingkreis, den sogenannten Colpitts Oszillator. Der momentane Zustand dieses Schwingkreises wird durch die beiden Spannungen U1(t) und U2(t) sowie den Strom I(t) vollständig beschrieben und kann daher formal als Vektor x(t) = (U1,U2,I) in einem dreidimensionalen Zustandsraum aufgefaßt werden. Die Zeitentwicklung dieses Zustandsvektors wird durch entsprechende Differentialgleichungen für U1,U2 und I gegeben, die man mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze herleiten kann. Der Colpitts Oszillator ist auf Grund der nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinie des Transistors ein nichtlineares System, bei dem neben selbsterregten periodischen Schwingungen insbesondere auch irreguläre, chaotische Oszillationen auftreten können. Diese Systemdynamik spiegelt sich in Oszillationen der Variablen U1,U2, und I wider und kann im Zeit- bzw. Frequenzbereich untersucht werden. Dabei zeigt sich jedoch, daß beispielsweise Fourierspektren chaotischer Schwingungen oft nur schwer von denen eines rein zufälligen Prozesses zu unterscheiden sind und sich somit nur bedingt zur Charakterisierung von deterministischem Chaos eignen. An dieser Stelle eröffnet die Beschreibung im Zustandsraum neue Möglichkeiten einer geometrisch orientierten Analyse der Signale. Dies soll zunächst am Beispiel einer periodischen Schwingung erläutert werden. Abbildung 3a zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung U1 des Colpitts Oszillators in einem Parameterbereich, in dem selbsterregte periodische Schwingungen auftreten. In Abbildung 3b ist die gleiche Oszillation im Zustandsraum dargestellt, wo die zeitliche Entwicklung des Zustands(vektors) der Bewegung eines Punktes auf einer geschlossenen Kurve entspricht. Diese Kurve wirkt auf Zustände aus ihrer Umgebung anziehend, und man spricht deshalb auch von einem periodischen Attraktor. Werden nun die Parameter des Schwingkreises so verändert, daß aperiodische chaotische Schwingungen auftreten, so fächert der periodische Attraktor auf und wird zu einem sogenannten seltsamen Attraktor, wie er in Abb. 3c dargestellt ist. In der Zustandsraumdarstellung kann man diesem geometrischen Gebilde als wesentliche Kennzahl eine nicht ganzzahlige (fraktale) Dimension zugordnen. Nachdem die Systemtrajektorie sich einem solchen seltsamen Attraktor genähert hat, folgt sie einer für diesen Attraktortyp charakteristischen, komplizierten Dynamik, die als deterministisches Chaos bezeichnet wird. Das Ergebnis ist eine irreguläre Zeitentwicklung, die sehr empfindlich von Anfangswerten oder (beliebig) kleinen Störungen abhängt. Diese sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten ist ein wichtiges Charakteristikum seltsamer chaotischer Attraktoren, das mit Hilfe sogenannter Lyapunov Exponenten quantifiziert werden kann. Die empfindliche Abhängigkeit hat insbesondere zur Folge, daß Langzeitvorhersagen bei chaotischen Systemen unmöglich sind, da jeder noch so kleine Fehler bei der Bestimmung oder Festlegung der Anfangswerte exponentiell mit der Zeit anwächst und so binnen kurzem makroskopische Ausmaße annimmt. Auf kurzen oder mittleren Zeitskalen ist auf Grund der zugrundeliegenden deterministischen Dynamik jedoch eine Vorhersage möglich, und dies ist ein entscheidender Unterschied gegenüber rein stochastischen Systemen. Die Möglichkeit zur Kurzzeitvorhersage ist nicht nur ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal, sondern sie kann auch direkt z.B. bei der Regelung chaotischer Systeme ausgenutzt werden.


Abb. 2

Abb. 2
Schaltbild des chaotischen Colpitts Ozillators





Abb. 3

Abb. 3: Colpitts Ozillator.

  1. periodisches Spannungssignal U1 ;
  2. Zustandsraumdarstellung der periodischen Schwingung aus (a.);
  3. Zustandsraumdarstellung eines chaotischen Attraktors.

Will man die Begriffe und Konzepte der Nichtlinearen Dynamik auf gemessene Daten anwenden, so stößt man zunächst auf ein Problem: die mathematische Beschreibung und Analyse setzt, wie oben angedeutet, in der Regel eine Zustandsraumdarstellung voraus, die bei gemessenen Zeitreihen oft jedoch nicht unmittelbar gegeben ist, da nicht alle Komponenten des Zustandsvektors zur Verfügung stehen. Für eine Messung am Colpitts Oszillator kann dies z.B. bedeuten, daß nicht alle drei für die vollständige Zustandsraumbeschreibung notwendigen Größen U1, U2, I erfaßt werden, sondern nur eine, z.B. die Spannung U1. Um dennoch von der einen Meßgröße zu einer mehrdimensionalen Zustandsraumbeschreibung zu gelangen, bedient man sich der Methode der Verzögerungskoordinaten (delay coordinates), bei der zeitlich aufeinanderfolgende Meßwerte U1(t), U1(t+t), U1(t+2t),... zu einem Zustandsvektor zusammengefaßt werden, z.B. (U1(t), U1(t+t), U1(t+2t)) für einen Vektor in einem dreidimensionalen Zustandsraum. Sind die Dimension dieses Vektors und die Verzögerungszeit t richtig gewählt, so sind die rekonstruierten Zustände ein getreues Abbild der Originalzustände in dem zugrundeliegenden physikalischen Zustandsraum, und die so aus der Zeitreihe rekonstruierten Attraktoren besitzen die gleichen Eigenschaften (Dimension, Lyapunov Exponenten, ...) wie der unbekannte Originalattraktor. Viele Methoden der Nichtlinearen Zeitreihenanalyse nutzen diese (qualitative) übereinstimmung aus, um durch Analyse des rekonstruierten Attraktors auf die Eigenschaften der Systemdynamik zurückzuschließen.


TSTOOL

TSTOOL ist ein auf der Programmierumgebung MATLAB basierendes Werkzeug zur Datenanalyse, bei dem insbesondere Methoden aus dem Bereich der Nichtlinearen Dynamik berücksichtigt wurden. Das Programmpaket besteht aus einer Funktionssammlung zur Datenanalyse und ist mit einer grafischen Benutzeroberfläche ausgestattet (Abb. 1), die es erlaubt, verschiedene Datenformate zu laden, die Daten zu manipulieren und diversen Analysemethoden zu unterwerfen, sowie die Daten und Ergebnisse auf vielfältige Weise zu visualisieren. Durch das Anlegen sogenannter "Histories" ist die Nachvollziehbarkeit der bereits durchlaufenen Bearbeitungsschritte jederzeit gewährleistet. Analyseabläufe, die häufiger vorkommen oder auf viele Datensätze angewandt werden sollen, können zu Makros zusammengefaßt werden und stehen dann als neuer Befehl zur Verfügung. Derzeit sind neben einigen Standardverfahren der linearen Datenanalyse (Autokorrelationsfunktion, Leistungsspektrum, lineare Filter) u.a. folgende Methoden aus dem Bereich der nichtlinearen Dynamik implementiert:

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  • Einbettung skalarer Zeitreihen zur Rekonstruktion von Zuständen
  • Berechnung verschiedener (fraktaler) Dimensionen der eingebetteten Daten
  • Berechnung von Lyapunov Exponenten zur Feststellung der Empfindlichkeit des Systems
  • Signalklassifikation und Test von Hypothesen auf der Basis von Surrogatdaten

Abb. 4
Abb.4:
Vorhersagefehler vs. Vorhersagezeitraum. Die Vorhersage erfolgt anhand der Zeitentwicklung eines in der Vergangenheit bereits aufgetretenen, ähnlichen Zustands.


Als Beispiel für eine mit dem TSTOOL durchgeführte Analyse zeigt Abb. 4 die auf der in Abb. 1 dargestellten dreidimensionalen Attraktorrekonstruktion basierende zeitliche Vorhersage einer gemessenen chaotischen Colpitts-Zeitreihe. Dargestellt ist der mittlere logarithmierte Vorhersagefehler in Abhängigkeit vom Vorhersagezeitraum. Da der Fehler für kurze Vorhersagezeiträume exponentiell wächst, nimmt der logarithmierte Vorhersagefehler in dem mit einem parallel gezeichneten Geradenstück gekennzeichneten Teil der Kurve nahezu linear zu. Zum Vergleich zeigt die rot gefärbte Kurve den Mittelwert der Vorhersageergebnisse von 10 sogenannten Surrogatdatensätzen, die das gleiche Leistungsspektrum wie die gemessene Zeitreihe besitzen und aus dieser durch Phasenrandomisierung der Fouriertransformierten erzeugt wurden. Der deutliche Unterschied zwischen den gemessenen Daten (blaue Kurve) und den Vergleichsdaten weist darauf hin, daß die Meßwerte nicht von einem (linearen) stochastischen System, sondern von einem deterministisch chaotischen Prozeß stammen.



Abb. 5

Abb. 5:
Analyseergebnisse für die in Abb. 1 dargestellten Daten des chaotischen Colpitts Ozillators.
(a) Graph zur Schätzung der Kapazitätsdimension.
(b) Spektogramm.
(c) Transinformation.


DATENANALYSE FÜR TECHNISCHE SYSTEME


Abb. 6


Abb. 6:
Merkmalsraum der Lüfterklassifikation. Die blauen Punkte repräsentieren die Lüfter, die von menschlichen Prüfern als nicht defekt eingestuft wurden, während die roten Punkte Lüfter mit verschiedenen Schäden darstellen.

Für die Analyse von Zeitreihen aus technisch-industriellen Systemen hat sich in vielen Fällen eine Kombination linearer und nichtlinearer Konzepte als nützlich erwiesen. Die linearen Methoden übernehmen dabei häufig die Rolle einer Vorverarbeitung (z.B. Filterung), und die nachgeschalteten nichtlinearen Auswertungsverfahren liefern die eigentliche Merkmalsextraktion. Dabei handelt es sich bei irregulären technischen Daten, die z.B. an (defekten) Maschinen aufgenommen werden, in der Regel nicht um chaotische Signale im engeren Sinne. Trotzdem können die zunächst für chaotische Systeme entwickelten Methoden hier angewandt werden, sofern die Interpretation der Ergebnisse den neuen Voraussetzungen angepaßt wird. Diese Vorgehensweise soll an einem praktischen Beispiel illustriert werden. Bei der Produktion von Lüftermotoren ist anhand des Laufgeräusches automatisch die Qualität zu beurteilen. Dazu wird das gemessene Signal zunächst in 16 Frequenzbänder aufgeteilt. Jedes der 16 Filtersignale wird dann zur Rekonstruktion zweidimensionaler Zustandsvektoren benutzt und mit Hilfe eines Boxcounting-Algorithmus ein Maß für die Inhomogenität der resultierenden "Attraktoren" berechnet. Die Inhomogenitätsmaße der 16 Filterkanäle repräsentieren so den gegebenen Datensatz in einem 16-dimensionalen Merkmalsraum. Zur besseren grafischen Darstellung werden die Merkmalsvektoren dann mit Hilfe einer Karhunen- Loève-Transformation in einen zweidimensionalen Unterraum projiziert, der in Abb.6 dargestellt ist. Die intakten Lüfter (blaue Punkte) sind von den defekten (rote Punkte) deutlich zu unterscheiden.


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Ein zweites Beispiel für die Adaption von Methoden aus der Nichtlinearen Dynamik an technische Problemstellungen ist die Unwuchtmessung auf der Basis einer Zustandsrekonstruktion und einer lokalen Modellbildung, bei der ein schneller Nächste-Nachbarn-Suchalgorithmus eingesetzt wird. Abbildung 7 zeigt ein typisches Vorhersageergebnis, bei dem Position und Betrag der Unwucht anhand gewisser Sensorsignale erfolgreich geschätzt werden. Ein weiteres Einsatzgebiet zustandsraumbasierter Methoden ist die Schätzung nicht gemessener Variablen mit Hilfe anderer, leichter zugänglicher Größen. Als Beispiel betrachten wir eine Kraftwerksturbine, bei der an verschiedenen Stellen mechanische Sensoren angebracht sind, die Informationen über die lokalen Schwingungen liefern. Zusätzlich werden auch elektrische Größen, wie z.B. Ströme und Wirkleistungen erfaßt. Die Aufgabe besteht nun darin, durch Schätzung oder Vorhersage eines Sensorsignals mit Hilfe anderer Sensorsignale die Sensoren sich wechselseitig überwachen zu lassen oder gar einige als redundant eingestufte Sensoren ersatzlos zu streichen. Abbildung 8 zeigt eine solche Schätzung, wobei hier mittels einer zweidimensionalen Zustandsrekonstruktion die Werte von Sensor 4 aus denen der Sensoren 1 und 5 gewonnen wurden.





Abb. 7
Unwuchtmessung mit einem Nächste-Nachbarn-Algorithmus. Der rote Punkt zeigt Position und Betrag der zu bestimmenden Unwucht an und das blaue Symbol den Schätzwert des Algorithmus. Die durchgezogene Linie repräsentiert den Verlauf der Messung, wobei nur der mit kleinen Kreisen markierte Teil für die Schätzung verwendet wurde.


 

Abb. 8
Schätzung des Signals von Sensor 4 anhand der Werte der Sensoren 1 und 5. Die Schätzwerte sind als rote Kurve dargestellt, das tatsächlich an Sensor 4 beobachtete Signal ist schwarz gekennzeichnet.


 ANALYSEPROTOTYPEN  






Abb. 9
Analyseprototyp für die Lüftermotorklassifikation

Das TSTOOL ist ein universelles Analysewerkzeug, das sehr vielfältig eingesetzt werden kann, beim Benutzer jedoch gewisse Vorkenntnisse der Nichtlinearen Dynamik erfordert. Um die im Rahmen des vom BMBF geförderten Kooperationsprojekts im TSTOOL implementierte Methoden auch für einen größeren Benutzerkreis gezielt nutzbar zu machen, wurden von der Carl Schenk AG sogenannte Analyseprototypen auf der Basis des TSTOOLs entwickelt. Hierbei handelt es sich um ebenfalls in der Programmierumgebung MATLAB lauffähige Analyseprogramme, die jedoch im Gegensatz zum TSTOOL auf jeweils eine spezielle Auswertung zugeschnitten sind und deren Bedienung daher einfacher zu erlernen ist. Als Beispiel ist in Abb. 9 die Oberfläche eines Analyseassistenten für die oben bereits besprochene Lüftermotorklassifikation dargestellt.


 Ausblick PROJEKT-
ORGANISATION

Ziel des noch laufenden Projekts ist es, neue, in der Nichtlinearen Dynamik entwickelte Ansätze zur Datenanalyse bei der Maschinen- und Prozeßanalyse einzusetzen. Das zu diesem Zweck implementierte Analyseprogramm TSTOOL wird daher ständig um geeignete Verfahren erweitert und an praktische Anforderungen angepaßt. TSTOOL ist im Internet unter der Adresse http://www.dpi.physik.uni-goettingen.de/tstool/ frei verfügbar.

  • Förderung des Vorhabens:
    Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF)
    Heinemannstraße 2
    53175 Bonn
  • Vorhaben:
    Analyse von Maschinen- und Prozeßzuständen mit Methoden der Nichtlinearen Dynamik
  • Projektbetreuung:
    VDI-Technologiezentrum Physikalische Technologien
    Dr. H. Hoffschulz
    Graf-Recke-Straße 84
    40239 Düsseldorf Tel.: (02 11) 62 14-5 06 Fax: (02 11) 62 14-4 84
  • Verbundpartner:
    Universität Göttingen
    Carl-Schenck AG, Darmstadt
    Technische Universität Darmstadt
  • Ansprechpartner:
    Prof. Dr. W. Lauterborn
    PD Dr. U. Parlitz
    Drittes Physikalisches Institut
    Universität Göttingen
    Bürgerstraße 42-44
    D-37073 Göttingen
    Tel.: (05 51) 39-77 13
    Fax: (05 51) 39-77 20
    E-Mail:
    W.Lauterborn@dpi.physik.uni-goettingen.de
    U.Parlitz@dpi.physik.uni-goettingen.de

Das VDI-Technologiezentrum Physikalische Technologien ist im Auftrag und mit Unterstützung des Bundesministeriums für Bildung und Forschung (BMBF) als Projektträger für physikalische Technologien tätig. Das VDI-TZ betreut im Bereich "Physikalische Technologien" die Fachthemen "Schicht- und Oberflächentechnologien", "Plasmatechnik", "Supraleitung" sowie "Neue Gebiete".
Das Faltblatt "INFO PHYS TECH" will frühzeitig über Ergebnisse von Projekten, die das BMBF im Bereich "Physikalische Technologien" fördert, und über technische Neuentwicklungen informieren. Ziel der Faltblattreihe ist, einen Beitrag zur Verbesserung der Innovationsfähigkeit von Unternehmendurch Einsatz neuer Technologien zu leisten. Die Faltblattreihe erscheint mehrmals jährlich. Die Ausgaben können kostenlos angefordert werden.

Herausgeber des "INFO PHYS TECH":
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